Sinus, cosinus og tangens
I en retvinklet trekant er sin(v) = modstående / hypotenuse, cos(v) = hosliggende / hypotenuse, og tan(v) = modstående / hosliggende.
Trigonometriberegner
Beregn sinus, cosinus og tangens af en vinkel, eller løs en retvinklet trekant ud fra én vinkel og én side.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Grader og radianer
En hel cirkel er 360° eller 2π radianer. For at omregne grader til radianer ganges med π/180.
Løs en retvinklet trekant
Kender du én af de spidse vinkler og én side, kan de to andre sider og den sidste vinkel findes med sinus, cosinus og tangens.
Eksempel: sin(30°)
sin(30°) = 0,5. Det er en af de vinkler, man ofte støder på i skolen, fordi resultatet bliver et pænt tal.
Eksempel: retvinklet trekant
Kender du vinklen 30° og hypotenusen 10, findes den modstående katete som 10 × sin(30°) = 5, og den hosliggende katete som 10 × cos(30°) ≈ 8,66.
Huskeregel: hvilken side hører til hvilken funktion
En udbredt huskeregel er SOH-CAH-TOA: Sin = Overkatete/Hypotenuse, Cos = Anden katete (hosliggende)/Hypotenuse, Tan = Overkatete/Anden katete. Overkatete (modstående) er siden over for den vinkel, du regner på, mens den hosliggende katete er den anden katete, der støder op til vinklen.
Find en vinkel ud fra to sider (invers trigonometri)
Kender du forholdet mellem to sider, men ikke selve vinklen, bruger du den inverse funktion: er sin(v) = 0,5, findes vinklen med v = sin⁻¹(0,5) = 30°. Det samme princip gælder for cos⁻¹ og tan⁻¹.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: forkert enhed (grader eller radianer)
En meget almindelig fejl er at indtaste en vinkel i grader, mens lommeregneren eller programmet regner i radianer, eller omvendt. sin(30°) og sin(30 radianer) giver to helt forskellige resultater. Tjek altid, hvilken enhed dit værktøj er sat til, før du regner videre.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at forveksle sin⁻¹ med 1/sin
sin⁻¹(x), også skrevet arcsin(x), er den inverse funktion, der finder vinklen ud fra en kendt sinusværdi. Det er ikke det samme som 1/sin(x), som i stedet er den reciprokke værdi, kaldet cosekant. Forveksles de to, for eksempel ved at taste 1/sin(30°) = 2 i stedet for sin⁻¹(0,5) = 30°, får man et tal, der slet ikke er en vinkel, men en helt anden størrelse.
Sinus, cosinus og tangens for standardvinkler
| Vinkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,866 | 0,577 |
| 45° | 0,707 | 0,707 | 1 |
| 60° | 0,866 | 0,5 | 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | Udefineret |
Eksakte matematiske værdier for standardvinkler, ikke en officiel sats.
Cotangens, sekant og cosekans: de tre mindre kendte funktioner
Ud over sinus, cosinus og tangens findes tre beslægtede funktioner, der bruges sjældnere: cotangens (cos/sin, den omvendte af tangens), sekant (1/cos) og cosekans (1/sin). De optræder mest i videregående matematik og fysik, og de fleste hverdagsopgaver kan løses fuldt ud med kun de tre grundlæggende funktioner, denne beregner dækker.
Trigonometri i praksis
Trigonometri bruges til at måle højder og afstande, man ikke kan måle direkte, fx højden af en bygning ud fra en målt vinkel og en kendt afstand til bygningens fod, eller i navigation og landmåling til at beregne positioner ud fra vinkler og kendte afstande.
Eksempel: find en bygnings højde
Du står 20 meter fra foden af en bygning og måler en vinkel på 35° op til toppen. Bygningens højde er 20 × tan(35°) ≈ 20 × 0,7002 ≈ 14 meter. Denne metode bruges i landmåling, når man ikke kan måle en højde direkte med et målebånd.
Særlige vinkler med pæne værdier
Nogle vinkler giver særligt pæne, ofte brugte værdier: sin(0°) = 0, sin(30°) = 0,5, sin(45°) ≈ 0,707, sin(60°) ≈ 0,866, og sin(90°) = 1. Disse vinkler går igen i mange skoleopgaver netop fordi resultaterne er lette at genkende og huske.
Tangens er stigningstal på en graf
Tangens til en vinkel svarer geometrisk til stigningstallet for en ret linje, der danner den pågældende vinkel med den vandrette akse. En linje med stigningstal 1 danner derfor præcis en vinkel på 45° med vandret, fordi tan(45°) = 1. Denne sammenhæng bruges ofte i funktionslære til at omregne mellem en linjes hældning og den vinkel, den danner.
Vinkelsum i en trekant
I enhver trekant summerer de tre vinkler altid til 180°. I en retvinklet trekant er den ene vinkel 90°, så de to andre spidse vinkler summerer altid til 90° tilsammen. Kender du den ene spidse vinkel, kan du derfor altid finde den anden ved at trække fra 90°, uden brug af sinus, cosinus eller tangens.
Sammenhængen med Pythagoras' sætning
Trigonometri og Pythagoras' sætning hænger tæt sammen: kender du to sider i en retvinklet trekant, kan du bruge Pythagoras (a² + b² = c²) til at finde den tredje side uden overhovedet at regne på vinkler. Men kender du kun én side og én vinkel, er trigonometri nødvendigt, fordi Pythagoras alene ikke kan afgøre en ukendt side ud fra en vinkel.
Enhedscirklen som grundlag for trigonometri
Sinus og cosinus kan også defineres ud fra enhedscirklen (en cirkel med radius 1): for en vinkel v målt fra den positive x-akse er cos(v) x-koordinaten og sin(v) y-koordinaten for det punkt på cirklen, vinklen peger på. Denne definition gør det muligt at regne med vinkler over 90°, hvilket den simple retvinklede trekant-definition ikke kan.
Negative vinkler og vinkler over 90 grader
Definitionen med en retvinklet trekant virker kun for vinkler mellem 0° og 90°. Skal du regne med større eller negative vinkler, for eksempel 150° eller minus 45°, bruges i stedet definitionen ud fra enhedscirklen, hvor sinus og cosinus stadig er veldefinerede for alle vinkler, mens fortegnet på resultatet skifter afhængigt af, hvilken kvadrant vinklen falder i.
Hvornår bruges trigonometri uden for skolen?
Ud over landmåling og navigation bruges trigonometri i computerspilsudvikling til at beregne bevægelse og synsvinkler, i arkitektur og konstruktion til at beregne taghældninger og understøtninger, og i lydteknik til at beskrive lydbølger som sinuskurver. Fælles for situationerne er, at man kender enten en vinkel og en afstand, eller to afstande, og skal finde den tredje størrelse.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan beregner man sinus, cosinus og tangens?
I en retvinklet trekant: sin = modstående/hypotenuse, cos = hosliggende/hypotenuse, tan = modstående/hosliggende.
Hvordan omregner jeg grader til radianer?
Gang graderne med π/180. 180° svarer til π radianer.
Kan beregneren finde siderne i en retvinklet trekant?
Ja, vælg fanen 'Retvinklet trekant', indtast én vinkel og én kendt side, så beregnes resten.
Hvad er sin(30°)?
0,5.
Hvad er de andre sider, når vinklen er 30° og hypotenusen er 10?
Modstående katete er 5, og hosliggende katete er ca. 8,66.
Hvad betyder SOH-CAH-TOA?
Det er en huskeregel: Sin = Overkatete/Hypotenuse, Cos = Anden katete/Hypotenuse, Tan = Overkatete/Anden katete.
Hvordan finder jeg en vinkel, hvis jeg kun kender to sider?
Brug den inverse funktion, fx sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹, på forholdet mellem de to kendte sider.
Hvorfor giver min lommeregner et helt andet svar end forventet?
Sandsynligvis fordi lommeregneren står i radian-tilstand i stedet for grader, eller omvendt. Tjek altid indstillingen, før du regner videre.
Hvad summerer vinklerne i en trekant altid til?
180°, uanset trekantens form. I en retvinklet trekant summerer de to spidse vinkler derfor altid til 90°.
Hvordan finder jeg højden af noget, jeg ikke kan måle direkte?
Mål afstanden til objektets fod og vinklen op til toppen, og brug tan(vinkel) × afstand. En vinkel på 35° og en afstand på 20 m giver en højde på cirka 14 m.
Læs mere
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.
Pythagoras
Beregn hypotenusen eller en katete i en retvinklet trekant med Pythagoras' sætning.
GeometriGeometriberegner
Beregn areal, omkreds, overfladeareal og rumfang af trekanter, cirkler, kasser, cylindre, kugler og kegler.
GeometriLommeregner
Gratis videnskabelig lommeregner med sinus, cosinus, tangens, kvadratrod, potens, hukommelse og historik over dine seneste udregninger.
Matematik