Førstegradsligninger
En førstegradsligning har formen ax + b = cx + d. Du løser den ved at samle alle x-led på den ene side og tallene på den anden, og til sidst dividere med koefficienten foran x.
Ligningsløser
Løs førstegradsligninger og andengradsligninger trin for trin. Se hele udregningen, ikke kun facit, så du kan forstå metoden og ikke bare finde svaret.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Andengradsligninger
En andengradsligning har formen ax² + bx + c = 0. Den løses med diskriminanten D = b² − 4ac, som fortæller om ligningen har to, én eller ingen reelle løsninger.
Diskriminanten afgør antallet af løsninger
Er D > 0 er der to løsninger, er D = 0 er der én løsning (en dobbeltrod), og er D < 0 er der ingen reelle løsninger, fordi du ville skulle tage kvadratroden af et negativt tal.
Løsningsformlen (andengradsformlen)
Når diskriminanten er fundet, findes løsningerne med formlen x = (−b ± √D) / (2a). Plus-minus-tegnet betyder, at der som udgangspunkt er to svar: ét hvor du lægger kvadratroden til, og ét hvor du trækker den fra. Navnet a, b og c refererer til koefficienterne i den oprindelige ligning ax² + bx + c = 0, og det er vigtigt at aflæse dem korrekt, inklusive fortegn, før du sætter dem ind i formlen.
Eksempel: førstegradsligning
Ligningen 2x + 3 = 11 løses ved at trække 3 fra på begge sider: 2x = 8, og dividere med 2: x = 4. Har ligningen x-led på begge sider, fx 5x + 2 = 2x + 14, samles x-leddene først: 3x + 2 = 14, dernæst 3x = 12, og til sidst x = 4.
Eksempel: andengradsligning med to løsninger
For x² − 5x + 6 = 0 er diskriminanten D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Løsningerne bliver x = (5 ± 1) / 2, altså x = 3 eller x = 2.
Eksempel: andengradsligning med præcis én løsning
For x² − 6x + 9 = 0 er diskriminanten D = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0. Der er kun én løsning: x = −(−6) / (2 × 1) = 3. Ligningen kan også skrives (x − 3)² = 0, hvilket viser hvorfor der kun er én løsning.
Eksempel: andengradsligning uden reelle løsninger
For x² + 2x + 5 = 0 er diskriminanten D = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16. Da D er negativ, findes der ingen reelle løsninger. Grafen for ligningen rører aldrig x-aksen.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: fortegnsfejl i diskriminanten
En hyppig fejl er at glemme fortegnet på b, når b i sig selv er negativt. Er ligningen x² − 5x + 6 = 0, er b lig −5, så b² bliver (−5)² = 25, ikke −25. Kvadrering af et negativt tal giver altid et positivt resultat.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at dividere med x uden at tjekke om x kan være 0
Står der en ligning som x² = 5x, er det en almindelig fejl at dividere begge sider med x for at få x = 5, og dermed miste løsningen x = 0. Det er ikke tilladt at dividere med noget, der kan være 0, uden videre. Den korrekte metode er at flytte alt over på én side, x² − 5x = 0, faktorisere til x(x − 5) = 0, og finde begge løsninger, x = 0 og x = 5.
Diskriminanten D = b² − 4ac
| D | Antal løsninger | Type |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 | To forskellige reelle løsninger |
| D = 0 | 1 | Én løsning (dobbeltrod) |
| D < 0 | 0 | Ingen reelle løsninger (komplekse) |
Reglen for diskriminanten, som beskrevet i teksten ovenfor.
Sådan tjekker du dit svar
Du kan altid tjekke løsningen ved at sætte den ind i den oprindelige ligning i stedet for x, uanset om ligningen er af første eller anden grad. Giver begge sider af lighedstegnet det samme tal, er løsningen korrekt. For x = 4 i 2x + 3 = 11 giver det 2 × 4 + 3 = 11, hvilket stemmer.
Faktorisering som alternativ til andengradsformlen
Nogle andengradsligninger kan løses hurtigere ved faktorisering i stedet for diskriminant. x² − 5x + 6 = 0 kan skrives om til (x − 2)(x − 3) = 0, fordi 2 × 3 = 6 og 2 + 3 = 5. Et produkt er kun 0, hvis mindst én af faktorerne er 0, så løsningerne er x = 2 og x = 3, samme svar som med formlen, men hurtigere når tallene går nemt op.
Eksempel: ligning med et negativt eller decimalt svar
Ligningen 3x + 7 = 1 løses ved at trække 7 fra på begge sider: 3x = −6, og dividere med 3: x = −2. Løsninger behøver hverken være positive eller hele tal, fx giver 2x = 5 løsningen x = 2,5. Det samme gælder for andengradsligninger, hvor løsningerne ofte bliver decimaltal, når diskriminanten ikke er et helt kvadrattal.
Andengradsligninger i praksis: kasteparabler
Andengradsligninger optræder naturligt i fysik, når noget kastes eller skydes op i luften, fordi tyngdekraften giver en bane, der er en parabel. Højden h af en bold kastet op med starthastighed v efter t sekunder kan beskrives som h = v×t − 4,9×t², og skal du finde ud af, hvornår bolden rammer jorden igen (h = 0), løser du netop en andengradsligning for t.
Komplekse løsninger, når diskriminanten er negativ
Er diskriminanten negativ, findes der stadig løsninger, men de er komplekse i stedet for reelle og indeholder den imaginære enhed i, hvor i² = −1. For x² + 2x + 5 = 0 ovenfor ville de komplekse løsninger være x = −1 ± 2i. Komplekse løsninger bruges i videregående matematik og fag som elektroteknik, men ligger typisk uden for pensum på grundlæggende niveauer, hvor svaret i stedet blot angives som ingen reelle løsninger.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan løser man en førstegradsligning?
Saml x-led på den ene side og konstanter på den anden, divider derefter med koefficienten foran x.
Hvad er diskriminanten?
Diskriminanten D = b² − 4ac bruges til at finde løsningerne i en andengradsligning og afgøre hvor mange reelle løsninger den har.
Hvad betyder det hvis diskriminanten er negativ?
Så har ligningen ingen reelle løsninger, kun komplekse løsninger, som beregneren ikke viser.
Viser beregneren udregningen, ikke kun svaret?
Ja, den viser hvert trin i udregningen, så du kan følge med i metoden.
Hvad er løsningen på 2x + 3 = 11?
2x = 8, så x = 4.
Hvad er løsningerne på x² − 5x + 6 = 0?
Diskriminanten er 1, og løsningerne bliver x = 3 og x = 2.
Hvad er andengradsformlen?
x = (−b ± √D) / (2a), hvor D = b² − 4ac er diskriminanten. Formlen giver op til to løsninger, afhængigt af fortegnet på D.
Hvad betyder det, hvis en andengradsligning kun har én løsning?
Det betyder, at diskriminanten er 0. Ligningen har en såkaldt dobbeltrod, og grafen for ligningen rører x-aksen i præcis ét punkt.
Hvorfor kan man ikke bare regne −5² som −25?
Fordi det er selve tallet −5, der skal kvadreres, ikke kun 5 med et minus foran resultatet. (−5)² = (−5) × (−5) = 25, mens −(5²) = −25 er noget andet.
Hvordan tjekker jeg om min løsning er rigtig?
Sæt løsningen ind i den oprindelige ligning i stedet for x. Giver begge sider af lighedstegnet samme tal, er løsningen korrekt.
Hvad er faktorisering, og hvornår kan jeg bruge det i stedet for formlen?
Faktorisering betyder at skrive ligningen som et produkt af to led, fx (x − 2)(x − 3) = 0. Det virker hurtigt, når tallene går nemt op, men andengradsformlen virker altid, også når faktorisering er svær at få øje på eller slet ikke er mulig med hele tal.
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.
Brøkregner
Læg sammen, træk fra, gang og dividér brøker med automatisk forkortelse.
MatematikProcentberegner
Beregn procent af et tal, procentvis ændring og mere.
MatematikLommeregner
Gratis videnskabelig lommeregner med sinus, cosinus, tangens, kvadratrod, potens, hukommelse og historik over dine seneste udregninger.
Matematik