Hvad er standardafvigelse?
Standardafvigelsen viser hvor meget tallene i gennemsnit afviger fra gennemsnittet. En lav standardafvigelse betyder at tallene ligger tæt samlet, en høj betyder at de er spredt.
Statistikberegner
Beregn varians, standardafvigelse og spredning for et talmateriale, både for en stikprøve og for en hel population.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Population eller stikprøve?
Har du alle data (hele populationen), bruger du populationsformlen. Har du kun et udsnit (en stikprøve) af en større gruppe, bruger du stikprøveformlen, som divideres med (n − 1) i stedet for n.
Varians
Variansen er standardafvigelsen i anden. Den bruges ofte som mellemregning, men rapporteres sjældnere direkte end standardafvigelsen.
Eksempel: varians og standardafvigelse
For tallene 2, 4, 6, 8 og 10 er gennemsnittet 6. Afvigelserne er −4, −2, 0, 2 og 4, og de kvadrerede afvigelser er 16, 4, 0, 4 og 16, som summerer til 40. Populationsvariansen bliver 40/5 = 8, og standardafvigelsen √8 ≈ 2,83.
Forskel ved stikprøve
Er de samme tal kun en stikprøve, divideres der med (n − 1) = 4 i stedet for 5, hvilket giver en stikprøvevarians på 40/4 = 10 og en stikprøve-standardafvigelse på √10 ≈ 3,16.
Hvorfor kvadreres afvigelserne?
Afvigelserne fra gennemsnittet kvadreres, fordi de ellers ville summere til nul (positive og negative afvigelser ville udligne hinanden). Kvadrering gør alle bidrag positive, men gør samtidig enheden "kvadreret". Det er derfor man til sidst tager kvadratroden igen for at komme tilbage til standardafvigelsen i den oprindelige enhed.
Sådan tolkes en høj eller lav standardafvigelse
To klasser kan have samme gennemsnit i en test, men meget forskellig standardafvigelse. En lav standardafvigelse betyder, at eleverne præsterede ensartet omkring gennemsnittet, mens en høj standardafvigelse betyder store forskelle, nogle meget høje og nogle meget lave resultater, selvom gennemsnittet ser ens ud.
Statistik i praksis
Standardafvigelse bruges bredt uden for skolen, i kvalitetskontrol til at vurdere om en produktionsproces er stabil, i finans til at måle hvor risikabel en aktie er (høj standardafvigelse i afkast betyder høj risiko), og i forskning til at vurdere hvor pålidelige resultaterne i en undersøgelse er, fordi en lav spredning gør det lettere at stole på, at gennemsnittet er retvisende.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at glemme at tage kvadratroden
En hyppig fejl er at forveksle variansen med standardafvigelsen og rapportere variansen, som om det var standardafvigelsen. De to tal kan ligge langt fra hinanden, i eksemplet ovenfor er variansen 8, mens standardafvigelsen kun er cirka 2,83. Husk altid at tage kvadratroden af variansen for at få standardafvigelsen.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at tro standardafvigelsen altid er et lille tal
Der er intet fast loft for, hvor stor en standardafvigelse kan blive. Den afhænger udelukkende af, hvor spredte de indtastede tal er, og af hvilken enhed de er målt i. Måles noget i tusinder i stedet for enkeltvis, bliver standardafvigelsen typisk tusind gange større, uden at datasættets reelle spredning i sig selv er anderledes. Det er derfor ikke meningsfuldt at sammenligne standardafvigelser mellem datasæt med forskellige enheder eller størrelsesordener uden videre.
Eksempel: standardafvigelse for et lille datasæt
Selv med kun tre tal følger udregningen præcis samme metode som med flere datapunkter.
- Tal
- 3, 5, 7
- Gennemsnit
- (3 + 5 + 7) / 3 = 5
- Kvadrerede afvigelser
- 4, 0, 4
- Populationsvarians
- (4 + 0 + 4) / 3 ≈ 2,67
- Standardafvigelse
- √2,67 ≈ 1,63
Normalfordelingens tommelfingerregel (68-95-99,7-reglen)
| Interval omkring gennemsnittet | Andel af data |
|---|---|
| ± 1 standardafvigelse | cirka 68 % |
| ± 2 standardafvigelser | cirka 95 % |
| ± 3 standardafvigelser | cirka 99,7 % |
Den empiriske regel for normalfordelte data, en generel statistisk tommelfingerregel.
Almindelig fejl
Standardfejlen: hvor sikker er man på gennemsnittet?
Standardfejlen er beslægtet med standardafvigelsen, men fortæller noget andet: hvor præcist stikprøvens gennemsnit sandsynligvis rammer det sande gennemsnit for hele populationen. Standardfejlen findes ved at dividere standardafvigelsen med kvadratroden af antallet af observationer, og den bliver derfor mindre, jo flere data man har, selvom selve standardafvigelsen i datasættet forbliver den samme.
Sammenhæng med gennemsnitsberegneren
Standardafvigelsen tager udgangspunkt i gennemsnittet af de tal, du indtaster. Er du i tvivl om, hvordan gennemsnittet i sig selv beregnes, kan du finde en grundig gennemgang med eksempler i vores gennemsnitsberegner, som også dækker median og typetal.
Hvornår giver det mening at bruge stikprøveformlen?
Har du eksempelvis testresultater fra 20 tilfældigt udvalgte elever ud af en hel årgang på 200, er de 20 en stikprøve af den fulde population. Skal du vurdere spredningen for hele årgangen ud fra disse 20 elever, bruger du stikprøveformlen med (n − 1), fordi den giver et mere retvisende skøn over den sande spredning i hele årgangen end populationsformlen ville gøre.
Eksempel: to klasser med samme gennemsnit, meget forskellig spredning
Klasse A får testresultaterne 6, 7, 7, 7 og 8, mens klasse B får 2, 4, 7, 10 og 12. Begge klasser har et gennemsnit på 7, men spredningen er vidt forskellig. I klasse A summerer de kvadrerede afvigelser til 2, hvilket giver en populationsvarians på 2/5 = 0,4 og en standardafvigelse på omkring 0,63. I klasse B summerer de kvadrerede afvigelser til 68, så variansen bliver 68/5 = 13,6 og standardafvigelsen omkring 3,69. Selvom begge klasser ligger på samme gennemsnit, viser standardafvigelsen, at resultaterne i klasse B er langt mere spredte end i klasse A.
Variationsbredde, det simpleste mål for spredning
Før standardafvigelse indføres i undervisningen, møder de fleste variationsbredden, som blot er forskellen mellem det højeste og det laveste tal i et datasæt. For klasse B ovenfor er variationsbredden 12 minus 2, altså 10. Variationsbredden er hurtig at regne, men den bruger kun de to yderste tal og ignorerer resten af datasættet. En enkelt ekstrem værdi kan derfor gøre variationsbredden misvisende, mens standardafvigelsen tager højde for alle tal i datasættet og giver et mere robust billede af spredningen.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er forskellen på population og stikprøve?
En population er alle mulige data, en stikprøve er et udsnit. Stikprøveformlen divideres med (n − 1) for at give et mere retvisende skøn.
Hvordan finder jeg standardafvigelsen?
Tag kvadratroden af variansen. Variansen er gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser fra middelværdien.
Hvad er forskellen på denne og gennemsnitsberegneren?
Gennemsnitsberegneren finder gennemsnit, median og typetal. Statistikberegneren fokuserer på spredningsmål som varians og standardafvigelse.
Hvad er standardafvigelsen for 2, 4, 6, 8 og 10?
Som population er den √8 ≈ 2,83. Som stikprøve er den √10 ≈ 3,16.
Hvorfor divideres der med (n − 1) ved en stikprøve?
Det korrigerer for, at en stikprøve typisk undervurderer den sande spredning i hele populationen. Det giver et mere retvisende skøn.
Hvorfor kvadreres afvigelserne, når man finder variansen?
Fordi de positive og negative afvigelser fra gennemsnittet ellers ville udligne hinanden og altid summere til nul.
Er varians og standardafvigelse det samme?
Nej. Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. Variansen alene bruges sjældnere direkte, fordi dens enhed er kvadreret i forhold til de oprindelige tal.
Kan to talrækker have samme gennemsnit, men forskellig standardafvigelse?
Ja, det sker ofte. Gennemsnittet fortæller ikke noget om, hvor spredte tallene er, det gør standardafvigelsen derimod.
Hvornår skal jeg bruge stikprøveformlen frem for populationsformlen?
Brug stikprøveformlen, når dine tal kun er et udsnit af en større gruppe, du vil sige noget om. Har du data for hele gruppen, brug populationsformlen.
Hvor finder jeg gennemsnittet, som standardafvigelsen tager udgangspunkt i?
Gennemsnittet beregnes ved at lægge alle tal sammen og dividere med antallet. Se vores gennemsnitsberegner for en fuld gennemgang med eksempler.
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.