Første kvadratsætning
(a + b)² = a² + 2ab + b². Kvadratet af en sum er kvadratet af det første led plus det dobbelte produkt plus kvadratet af det andet led.
Algebraberegner
Se kvadratsætningerne regnet ud med dine egne tal: (a + b)², (a − b)² og (a + b)(a − b), så du kan forstå og kontrollere udregningerne.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Anden kvadratsætning
(a − b)² = a² − 2ab + b². Samme princip som ovenfor, men med et minus foran det dobbelte produkt.
Tredje kvadratsætning
(a + b)(a − b) = a² − b². Kaldes også 'to-plus-minus-sætningen' og bruges bl.a. til at faktorisere udtryk.
Eksempel: (3 + 4)²
(3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49, hvilket stemmer med 7² = 49.
Eksempel: (5 + 2)(5 − 2)
(5 + 2)(5 − 2) = 5² − 2² = 25 − 4 = 21.
Eksempel: anden kvadratsætning med negative tal
(7 − 3)² = 7² − 2×7×3 + 3² = 49 − 42 + 9 = 16, hvilket stemmer med 4² = 16.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at glemme det dobbelte produkt
Den hyppigste fejl med kvadratsætningerne er at tro, at (a + b)² = a² + b², og dermed springe det dobbelte produkt 2ab over. Det er forkert: (3 + 4)² er 49, ikke 3² + 4² = 25. Det manglende led 2ab = 2×3×4 = 24 er netop forskellen mellem de to (49 − 25 = 24).
Hvorfor hedder det "det dobbelte produkt"?
Geometrisk kan (a + b)² tænkes som arealet af et kvadrat med sidelængde a + b. Det areal kan deles op i et kvadrat på a², et kvadrat på b², og to identiske rektangler med areal a × b hver, tilsammen 2ab. Det er derfor leddet 2ab optræder præcis to gange i formlen.
Kvadratsætninger bruges til faktorisering
Kvadratsætningerne kan også bruges baglæns til at faktorisere et udtryk. Ser du fx x² − 9, kan du genkende det som tredje kvadratsætning med a = x og b = 3, og skrive det om til (x + 3)(x − 3) uden at skulle løse en ligning for at finde det.
Hvorfor kvadratsætningerne er nyttige at kunne udenad
På mange gymnasiale matematikhold forventes det, at du kan bruge kvadratsætningerne uden hjælpemidler, fordi de går igen i stort set alle emner senere: ligningsløsning, funktioner, differentialregning og faktorisering. At kunne dem udenad sparer tid til de sværere dele af en opgave.
Sammenhæng med andengradsligninger
Kvadratsætningerne hænger tæt sammen med andengradsligninger. En ligning som x² − 6x + 9 = 0 kan genkendes som anden kvadratsætning skrevet ud (x − 3)² = 0, hvilket øjeblikkeligt fortæller dig, at x = 3 er den eneste løsning, uden at du skal regne diskriminanten ud. Se vores ligningsløser for en fuld gennemgang af andengradsligninger.
Eksempel: kvadratsætning med decimaltal
(2,5 + 1,5)² regnes som 2,5² + 2×2,5×1,5 + 1,5² = 6,25 + 7,5 + 2,25 = 16, hvilket stemmer med 4² = 16. Kvadratsætningerne virker på præcis samme måde, uanset om a og b er hele tal, decimaltal eller negative tal.
Sådan tjekker du din egen udregning
En god måde at kontrollere, om du har brugt kvadratsætningen korrekt, er at gange parentesen ud led for led i stedet (den såkaldte FOIL-metode: først, ydre, indre, sidst) og sammenligne med kvadratsætningens facit. Får du samme svar begge veje, har du regnet rigtigt.
Praktisk trick: gang to tal tæt på hinanden i hovedet
Tredje kvadratsætning er en hurtig genvej til at gange to tal sammen i hovedet, når de ligger lige langt fra et rundt tal. Skal du regne 21 × 19, kan du se det som (20 + 1)(20 − 1) = 20² − 1² = 400 − 1 = 399, hvilket er hurtigere end at gange 21 og 19 direkte sammen. Samme trick virker for 32 × 28, som bliver (30 + 2)(30 − 2) = 900 − 4 = 896.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at tro alle andengradsudtryk er en kvadratsætning
Ikke alle udtryk på formen x² plus et tal gange x plus et tal kan skrives om med en kvadratsætning. Udtrykket x² + 5x + 6 ligner umiddelbart en kvadratsætning, men passer ikke til mønstret, for hvis det skulle være anden kvadratsætning, skulle det sidste led være (5/2)² = 6,25, ikke 6. Udtrykket faktoriseres i stedet til (x + 2)(x + 3) ved at finde to tal, der ganges til 6 og lægges sammen til 5. Kvadratsætningerne gælder kun, når leddene passer nøjagtigt til mønstret a² ± 2ab + b².
De tre kvadratsætninger
| Sætning | Formel |
|---|---|
| Første | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Anden | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Tredje | (a + b)(a − b) = a² − b² |
De tre kvadratsætninger, som beskrevet i teksten ovenfor.
Kubiksætningerne: en udvidelse til tredje potens
Ud over de almindelige kvadratsætninger findes tilsvarende regler for tredje potens: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, og (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. De bruges sjældnere end kvadratsætningerne, men følger samme grundprincip: udtrykket ganges fuldt ud led for led, blot med flere led end ved anden potens.
Kvadratsætninger med flere led
Skal du kvadrere en sum med tre eller flere led, for eksempel (a + b + c)², virker det samme grundprincip, men med flere krydsled: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Hvert par af led ganges sammen og tælles dobbelt, ligesom i den almindelige kvadratsætning med kun to led.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er kvadratsætningerne?
Det er tre regneregler til at gange parenteser ud: (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b², og (a+b)(a−b) = a²−b².
Hvornår bruger man kvadratsætningerne?
De bruges til at gange parenteser ud eller faktorisere udtryk hurtigere, uden at skulle gange led for led hver gang.
Kan beregneren vise udregningen med mine egne tal?
Ja, indtast dine egne værdier for a og b, så vises alle tre sætninger udregnet med lige netop dine tal.
Hvad er (3 + 4)² udregnet med kvadratsætningen?
3² + 2×3×4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49.
Hvad er (5 + 2)(5 − 2)?
5² − 2² = 25 − 4 = 21.
Er (a + b)² det samme som a² + b²?
Nej, det er en meget almindelig fejl. Det korrekte svar er a² + 2ab + b², så det dobbelte produkt 2ab må ikke springes over.
Hvorfor optræder leddet 2ab i kvadratsætningen?
Geometrisk svarer det til to identiske rektangler med areal a × b, som opstår, når man deler et kvadrat med sidelængde a + b op i mindre stykker.
Kan kvadratsætningerne bruges til at faktorisere udtryk?
Ja. Fx kan x² − 9 genkendes som tredje kvadratsætning og skrives om til (x + 3)(x − 3).
Hvorfor skal man kunne kvadratsætningerne udenad?
Fordi de går igen i mange senere emner som ligningsløsning, funktioner og differentialregning. At kunne dem udenad sparer tid i mere komplekse opgaver.
Hvordan hænger kvadratsætninger sammen med andengradsligninger?
En andengradsligning kan nogle gange genkendes direkte som en kvadratsætning, fx x² − 6x + 9 = 0 som (x − 3)² = 0, hvilket straks viser at x = 3 er eneste løsning.
Virker kvadratsætningerne også med decimaltal?
Ja, reglerne gælder for alle tal: hele tal, decimaltal og negative tal, uden undtagelse.
Hvordan tjekker jeg om jeg har brugt en kvadratsætning rigtigt?
Gang parentesen ud led for led i stedet (fx med FOIL-metoden), og sammenlign med kvadratsætningens facit. Får du samme svar begge veje, er udregningen korrekt.
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.
Ligningsløser
Løs første- og andengradsligninger trin for trin.
MatematikPotens- og Rodberegner
Beregn potenser og n'te rødder, inkl. kvadratrod.
MatematikLommeregner
Gratis videnskabelig lommeregner med sinus, cosinus, tangens, kvadratrod, potens, hukommelse og historik over dine seneste udregninger.
Matematik