Simpel sandsynlighed
Sandsynlighed = antal gunstige udfald divideret med antal mulige udfald. Fx er sandsynligheden for at slå en 6'er med en terning 1/6 ≈ 16,7 %.
Sandsynlighedsberegner
Beregn sandsynlighed for gunstige udfald, kombinationer og permutationer, samt sandsynligheden for at to uafhængige hændelser sker.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Kombinationer og permutationer
En kombination tæller ikke rækkefølgen (hvilke 2 ud af 5 du vælger), mens en permutation gør (i hvilken rækkefølge du vælger dem).
To uafhængige hændelser
Sker to hændelser uafhængigt af hinanden, ganges deres sandsynligheder for at finde chancen for at begge sker. For 'mindst én' bruges den modsatte hændelse.
Eksempel: to terninger
Sandsynligheden for at slå en 6'er med én terning er 1/6. Sandsynligheden for at slå to 6'ere med to terninger er 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 2,8 %.
Eksempel: kombinationer
Skal du vælge 2 elever ud af 5 til en opgave, hvor rækkefølgen ikke betyder noget, er der C(5,2) = 10 mulige kombinationer.
Formlerne bag kombinationer og permutationer
Antal kombinationer af k ud af n ting findes med C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!), hvor udråbstegnet betyder fakultet (produktet af alle hele tal fra 1 op til tallet). Antal permutationer findes med P(n,k) = n! / (n−k)!, uden at dividere med k!, fordi rækkefølgen her tæller som forskellige udfald.
Hvad er fakultet?
n! (udtales "n fakultet") er produktet af alle hele tal fra 1 til n. Fx er 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Fakultet vokser meget hurtigt, så selv relativt små tal giver store resultater: 10! er allerede over 3,6 millioner.
Eksempel: permutationer
Skal 3 ud af 5 løbere fordeles på en 1., 2. og 3. plads, hvor rækkefølgen afgør resultatet, er der P(5,3) = 5! / (5−3)! = 5 × 4 × 3 = 60 mulige rækkefølger, langt flere end de 10 kombinationer, fordi rækkefølgen nu også tæller.
Sandsynligheden for "mindst én"
Skal du finde sandsynligheden for mindst én bestemt hændelse over flere forsøg, er det ofte lettere at regne den modsatte sandsynlighed (at hændelsen slet ikke sker) og trække fra 100 %. Sandsynligheden for mindst én 6'er i 4 kast med en terning er 1 minus sandsynligheden for ingen 6'ere: 1 − (5/6)⁴ ≈ 1 − 0,482 = 0,518, altså cirka 51,8 %.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at forveksle "og" med "eller"
Skal begge af to uafhængige hændelser ske (og), ganges sandsynlighederne. Skal mindst én af to hændelser ske, der udelukker hinanden (eller), lægges sandsynlighederne i stedet sammen. At bruge den forkerte regel er en af de hyppigste fejl i sandsynlighedsregning.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at bruge samme sandsynlighed for hvert træk uden tilbagelægning
Trækkes der flere gange fra samme mængde uden at lægge tilbage, ændrer sandsynligheden sig for hvert træk, fordi både antallet af gunstige og antallet af mulige udfald bliver ét mindre. En hyppig fejl er at gange den samme brøk med sig selv flere gange, som om hvert træk var uafhængigt af de foregående, selvom det kun gælder, når man trækker med tilbagelægning.
Eksempel: sandsynlighed uden tilbagelægning (kortspil)
Trækker du 2 kort fra en almindelig spilbunke på 52 kort uden at lægge det første tilbage, er sandsynligheden for at begge er hjerter 13/52 × 12/51 ≈ 0,0588, altså cirka 5,9 %. Det andet brøkstykke ændrer sig, fordi der er ét kort færre tilbage i bunken, og fordi ét hjerter allerede er trukket.
Sandsynlighed i praksis: fra vejrudsigt til lotteri
Sandsynlighedsregning bruges langt ud over terninger og kortspil. En vejrudsigt på 30 % regn er en sandsynlighed, ligesom chancen for at vinde i lotteriet beregnes ved at dele antal gunstige rækker med det samlede antal mulige rækker (en kombination). Jo flere tal der skal rammes ud af et stort antal muligheder, jo hurtigere falder sandsynligheden.
Sandsynlighed ligger altid mellem 0 og 1
En sandsynlighed på 0 betyder, at noget aldrig sker, mens 1 (eller 100 %) betyder, at det altid sker. Får du et regnestykke, der giver en sandsynlighed under 0 eller over 1, er der lavet en fejl et sted i udregningen, fordi det ikke er muligt i virkeligheden.
Fødselsdagsparadokset
Et klassisk eksempel på, hvor overraskende sandsynlighedsregning kan være, er fødselsdagsparadokset. I en gruppe på blot 23 personer er sandsynligheden for, at mindst to af dem har fødselsdag på samme dag, over 50 procent, selvom der er 365 mulige fødselsdage at vælge mellem. Det skyldes, at der med 23 personer er hele 253 mulige par, der hver kan matche, ikke kun 23 sammenligninger, som mange intuitivt regner med.
Uafhængige og gensidigt udelukkende hændelser er ikke det samme
To hændelser er uafhængige, hvis den ene ikke påvirker sandsynligheden for den anden, som ved to adskilte terningkast. To hændelser er derimod gensidigt udelukkende, hvis de aldrig kan ske samtidig, som at slå både en 2'er og en 5'er i det samme enkelte kast. Gensidigt udelukkende hændelser er faktisk stærkt afhængige af hinanden rent sandsynlighedsmæssigt, for sker den ene, er sandsynligheden for den anden straks 0. Det er en hyppig misforståelse at tro, at gensidigt udelukkende automatisk betyder uafhængige, når det nærmere er det modsatte.
Sandsynlighed for udvalgte terningkast
| Antal terninger | Udfald | Sandsynlighed |
|---|---|---|
| 1 | Slå en 6'er | 1/6 ≈ 16,7 % |
| 1 | Slå et lige tal | 3/6 = 50 % |
| 2 | Slå to 6'ere | 1/36 ≈ 2,8 % |
| 2 | Sum på 7 | 6/36 ≈ 16,7 % |
Beregnet med formlen for simpel sandsynlighed, som beskrevet i teksten ovenfor.
Monty Hall-problemet: et klassisk sandsynlighedsparadoks
I Monty Hall-problemet står du over for tre døre, hvoraf én skjuler en gevinst. Efter du har valgt en dør, åbner værten en af de andre døre, som ikke har gevinsten, og spørger, om du vil skifte dør. Selvom det intuitivt virker ligegyldigt, fordobler det faktisk din vindchance at skifte, fra 1/3 til 2/3, fordi værtens valg af hvilken dør der åbnes, ikke er tilfældigt.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan beregner man sandsynlighed?
Divider antal gunstige udfald med antal mulige udfald, og gang med 100 for at få procent.
Hvad er forskellen på kombination og permutation?
Ved en kombination betyder rækkefølgen ikke noget, ved en permutation gør den.
Hvordan finder jeg sandsynligheden for at to ting begge sker?
Gang de to sandsynligheder sammen, hvis hændelserne er uafhængige af hinanden.
Hvad er sandsynligheden for at slå to 6'ere med to terninger?
1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 2,8 %.
Hvor mange måder kan man vælge 2 ud af 5?
C(5,2) = 10, hvis rækkefølgen ikke betyder noget.
Hvad er fakultet?
n! er produktet af alle hele tal fra 1 til n. Fx er 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Hvordan finder jeg sandsynligheden for 'mindst én' hændelse over flere forsøg?
Regn sandsynligheden for at hændelsen slet ikke sker, og træk resultatet fra 100 %. Det er ofte lettere end at lægge alle enkeltmuligheder sammen direkte.
Skal jeg gange eller lægge sandsynligheder sammen?
Gang sandsynlighederne sammen, hvis begge uafhængige hændelser skal ske. Læg dem sammen, hvis mindst én af to hændelser, der udelukker hinanden, skal ske.
Ændrer sandsynligheden sig, hvis man trækker uden at lægge tilbage?
Ja. Trækker du fx kort uden at lægge dem tilbage i bunken, bliver både antallet af gunstige og mulige udfald ét mindre for hvert træk, så den anden brøk i udregningen er forskellig fra den første.
Kan en sandsynlighed være over 100 % eller under 0 %?
Nej, en sandsynlighed ligger altid mellem 0 og 1 (eller 0 og 100 %). Et resultat uden for det interval betyder, at der er en fejl i udregningen.
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.