Hvad er en potens?
En potens aᵇ betyder at a, kaldet grundtallet, ganges med sig selv b gange, hvor b kaldes eksponenten. Fx er 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Potens- og Rodberegner
Beregn potenser (a opløftet i b) og n'te rødder, inklusive kvadratrod og kubikrod, med hele udregningen vist.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Hvad er en rod?
En rod er det modsatte af en potens. Kvadratroden af 81 er 9, fordi 9² = 81. Kubikroden af 27 er 3, fordi 3³ = 27. Rodgraden fortæller, hvor mange gange tallet skal ganges med sig selv for at give det oprindelige tal tilbage.
Negative tal under rodtegnet
Der findes ingen reel lige rod (fx kvadratrod) af et negativt tal, men en ulige rod (fx kubikrod) af et negativt tal giver et negativt resultat.
Eksempel: potens
2⁵ betyder 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
Eksempel: rod
Kvadratroden af 144 er 12, fordi 12² = 144. Kubikroden af −27 er −3, fordi (−3)³ = −27.
Potensregneregler
Nogle regneregler gør det lettere at regne med potenser: a^b × a^c = a^(b+c) (samme grundtal ganges ved at lægge eksponenterne sammen), a^b / a^c = a^(b−c) (samme grundtal divideres ved at trække eksponenterne fra hinanden), og (a^b)^c = a^(b×c) (en potens i en potens ganges eksponenterne sammen).
Nul og negative eksponenter
Ethvert tal (undtagen 0) opløftet i 0 giver 1, fx 7⁰ = 1. En negativ eksponent betyder "en over" den tilsvarende positive potens: a^(−b) = 1 / a^b. Fx er 2^(−3) = 1 / 2³ = 1/8 = 0,125.
Brøkeksponenter og rødder
En brøkeksponent svarer til en rod: a^(1/n) er det samme som den n'te rod af a. Fx er 8^(1/3) det samme som kubikroden af 8, altså 2, fordi 2³ = 8. Det er derfor potenser og rødder er tæt forbundne og ofte samlet i én og samme beregner.
Eksempel: negativ eksponent
5^(−2) regnes som 1 / 5² = 1/25 = 0,04. Bemærk at resultatet af en negativ eksponent på et positivt grundtal altid er positivt, da det kun er eksponenten, der er negativ, ikke resultatet.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at forveksle 2³ med 2 × 3
En hyppig begynderfejl er at regne 2³ som 2 × 3 = 6. Det er forkert, da potensen betyder, at grundtallet ganges med sig selv, ikke med eksponenten: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Eksempel: produkt af potenser med samme grundtal
3² × 3⁴ kan regnes ved først at udregne hver potens (9 × 81 = 729), eller hurtigere ved at lægge eksponenterne sammen: 3² × 3⁴ = 3^(2+4) = 3⁶ = 729. Begge metoder giver samme svar, men reglen er en genvej, når tallene bliver store.
Eksempel: potens af en potens
(2²)³ regnes ved at gange eksponenterne sammen: (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. Det svarer til at kvadrere 2 (giver 4) og derefter opløfte 4 i 3. (4³ = 64, samme svar.)
Potenser i praksis
Potenser bruges blandt andet til renters rente over flere år, til at beskrive meget store eller meget små tal i naturvidenskab med potenser af 10 (fx 3 × 10⁸ for lysets hastighed i m/s), og til at beregne areal og rumfang, som netop bygger på henholdsvis anden- og tredjepotenser af en længde.
Rødder af negative tal
Der findes ingen reel kvadratrod (eller anden lige rod) af et negativt tal, fordi intet reelt tal ganget med sig selv et lige antal gange kan give et negativt resultat. En ulige rod, som kubikrod, af et negativt tal giver derimod et negativt resultat, fordi et negativt tal ganget med sig selv et ulige antal gange forbliver negativt.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: fortegn ved et negativt grundtal
Der er stor forskel på (−2)² og −2². I (−2)² er hele udtrykket, minustegnet inklusive, det der opløftes i anden, så resultatet er (−2) × (−2) = 4. I −2² er det derimod kun 2, der opløftes i anden, og minustegnet lægges til bagefter, så resultatet bliver −(2²) = −4. Forveksles de to skrivemåder, ender mange med forkert fortegn i svaret, selvom selve udregningen ellers er rigtig.
Kvadrattal, du bør kende udenad
At kende de laveste kvadrattal udenad gør mange udregninger hurtigere. 1² er 1, 2² er 4, 3² er 9, 4² er 16, 5² er 25, 6² er 36, 7² er 49, 8² er 64, 9² er 81, og 10² er 100. Fra 11 til 15 giver kvadraterne 121, 144, 169, 196 og 225. De dukker konstant op, når du skal regne baglæns med et rodtegn, fordi kvadratroden af et af disse tal så er kendt med det samme uden en mellemregning.
Kvadrattal og kubiktal, 1 til 10
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1.000 |
Matematiske konstanter.
Potenser af 10: videnskabelig notation
I naturvidenskab skrives meget store eller meget små tal ofte som et tal mellem 1 og 10 ganget med en potens af 10, kaldet videnskabelig notation. Afstanden til solen, cirka 150.000.000 kilometer, skrives i stedet som 1,5 × 10⁸ kilometer, langt lettere at overskue og sammenligne med andre store tal end den fulde talrække af nuller. Samme princip bruges omvendt til meget små tal, hvor eksponenten i stedet er negativ.
Eksempel: renters rente over flere år
Sættes 10.000 kroner i banken til 3 procent rente om året, vokser beløbet med faktoren 1,03 for hvert år, der går. Efter 5 år er beløbet 10.000 × 1,03⁵, hvilket svarer til 10.000 × 1,159274, altså cirka 11.593 kroner. Grundtallet i denne potens er renten plus 1, og eksponenten er antallet af år, pengene står i banken.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan beregner man en potens?
Gang grundtallet med sig selv så mange gange som eksponenten angiver. Beregneren gør det for dig med decimaltal og negative tal også.
Hvordan finder jeg kvadratroden af et tal?
Vælg fanen 'Rod', sæt rodgraden til 2, og indtast tallet. Kvadratroden af 81 er 9.
Kan jeg finde andre rødder end kvadratrod?
Ja, du kan ændre rodgraden til fx 3 for kubikrod eller et hvilket som helst andet heltal.
Hvad er 2 opløftet i 5?
2⁵ = 32.
Hvad er kvadratroden af 144?
12, fordi 12 × 12 = 144.
Hvad er 7 opløftet i 0?
1. Ethvert tal (undtagen 0) opløftet i 0 giver altid 1.
Hvad betyder en negativ eksponent?
En negativ eksponent betyder 1 divideret med den tilsvarende positive potens. Fx er 2^(−3) = 1 / 2³ = 1/8.
Er 2³ det samme som 2 × 3?
Nej. 2³ betyder 2 × 2 × 2 = 8, mens 2 × 3 = 6. Eksponenten fortæller, hvor mange gange grundtallet ganges med sig selv.
Hvad har brøkeksponenter med rødder at gøre?
En brøkeksponent på formen a^(1/n) svarer præcis til den n'te rod af a. Fx er 8^(1/3) det samme som kubikroden af 8, som er 2.
Hvordan ganger jeg to potenser med samme grundtal?
Læg eksponenterne sammen. 3² × 3⁴ = 3^(2+4) = 3⁶ = 729.
Hvordan regner jeg en potens i en potens, fx (2²)³?
Gang eksponenterne sammen. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64.
Hvorfor findes der ikke en reel kvadratrod af et negativt tal?
Fordi intet reelt tal ganget med sig selv giver et negativt resultat. Ulige rødder, som kubikrod, kan derimod godt være negative.
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.