Guide
Pythagoras' sætning forklaret med eksempler
Pythagoras' sætning er en af de mest brugte formler i hele matematikken, men mange husker kun selve formlen uden at forstå, hvorfor den virker, eller hvornår den kan bruges. Her er sætningen forklaret med eksempler, du kan følge trin for trin.
Opdateret: 29. juli 2026
Hvad siger Pythagoras' sætning?
I en retvinklet trekant gælder altid a² + b² = c², hvor a og b er de to kateter, siderne der støder op til den rette vinkel, og c er hypotenusen, den længste side, som ligger over for den rette vinkel. Sætningen virker kun på trekanter med en vinkel på præcis 90 grader.
Hvorfor virker sætningen? Beviset med arealer
En måde at forstå sætningen på er at tegne et kvadrat på hver af de tre sider i en retvinklet trekant. Arealet af kvadratet på hypotenusen er altid præcis lige så stort som de to andre kvadraters arealer lagt sammen. Det er derfor sætningen egentlig handler om arealer, selvom den i praksis bruges til at finde længder.
Eksempel: find hypotenusen
Kateterne i en retvinklet trekant er 6 og 8. Hypotenusen findes som √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Dette er et eksempel på en pythagoræisk trippel, hvor alle tre sider bliver hele tal.
Eksempel: find en manglende katete
Hypotenusen i en retvinklet trekant er 41, og den ene katete er 9. Den anden katete findes ved at omskrive formlen til a = √(c² − b²) = √(41² − 9²) = √(1.681 − 81) = √1.600 = 40.
Pythagoræiske tripler, det er værd at kende
Nogle kombinationer af hele tal opfylder a² + b² = c² præcist, uden afrunding. De mest kendte er 3-4-5, 6-8-10 (som er 3-4-5 ganget med 2), 5-12-13, 8-15-17 og 9-40-41. Genkender du en af disse kombinationer i en opgave, kan du finde svaret uden overhovedet at regne kvadratrødder ud.
Eksempel med decimaltal
Kateterne er 4,5 og 6. Hypotenusen bliver √(4,5² + 6²) = √(20,25 + 36) = √56,25 = 7,5. Sætningen fungerer præcis lige så godt med decimaltal som med hele tal, den giver bare sjældnere et helt tal som svar.
Omvendt Pythagoras: sådan tjekker du, om en trekant er retvinklet
Kender du alle tre sider i en trekant, kan du bruge sætningens omvendte til at afgøre, om trekanten er retvinklet: sæt den længste side ind som c og de to andre som a og b, og tjek om a² + b² = c². En trekant med siderne 7, 24 og 25 er retvinklet, fordi 7² + 24² = 49 + 576 = 625, som netop er 25².
Almindelig fejl: at bruge sætningen på trekanter uden ret vinkel
Pythagoras' sætning gælder udelukkende for retvinklede trekanter. Har trekanten ikke en vinkel på præcis 90 grader, giver a² + b² = c² et forkert resultat, og man skal i stedet bruge cosinusrelationen, som tager højde for den faktiske vinkel mellem siderne.
Praktisk brug: diagonalen i et rum
Et rektangulært rum er 4 meter langt og 3 meter bredt. Den lige linje fra det ene hjørne til det diagonalt modsatte hjørne, målt langs gulvet, er hypotenusen i en retvinklet trekant dannet af rummets to sider: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 meter. Samme princip bruges også til at beregne skærmdiagonaler, tømrerarbejde og navigation.
Hvorfor hedder den længste side hypotenusen?
Ordet hypotenuse stammer fra græsk og betyder omtrent 'den side, der strækker sig under' den rette vinkel, hvis man tegner trekanten med den rette vinkel øverst. Navnet er en praktisk huskeregel: hypotenusen er altid den side, der ligger over for den rette vinkel, ikke en af de to sider, der selv danner vinklen.
Sætningen er opkaldt efter Pythagoras, men er ældre end ham
Sætningen bærer navn efter den græske matematiker Pythagoras, men sammenhængen mellem siderne i en retvinklet trekant var kendt og brugt af flere ældre kulturer, blandt andet i det gamle Babylon, længe før grækerne fik sat navn på den. Pythagoras og hans skole fik æren for at formalisere og bevise sætningen som en generel matematisk sandhed.
Sammenhæng med trigonometri
Pythagoras' sætning hænger tæt sammen med trigonometri. For enhver vinkel v gælder sin²(v) + cos²(v) = 1, hvilket reelt er Pythagoras' sætning anvendt på en retvinklet trekant med hypotenusen sat til 1. Det er derfor de to emner ofte undervises tæt op ad hinanden i matematikundervisningen.
3D-udvidelsen: rumdiagonalen i en kasse
Sætningen kan udvides til tre dimensioner. Rumdiagonalen d i en kasse med sidelængderne a, b og c findes ved d = √(a² + b² + c²), fordi man først finder diagonalen i bunden med almindelig Pythagoras, og derefter bruger sætningen igen med denne diagonal og højden. For en kasse på 2, 3 og 6 meter bliver rumdiagonalen √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 meter.
Eksempel: lige afstand mellem to punkter på et kort
Pythagoras bruges også til at finde den lige linje-afstand mellem to punkter, når du kender deres placering i forhold til et fælles udgangspunkt. Ligger punkt A 3 kilometer mod øst og punkt B 4 kilometer mod nord for det samme udgangspunkt, er den lige afstand mellem A og B ikke bare 3 + 4 = 7 kilometer, men √(3² + 4²) = √25 = 5 kilometer, fordi de to retninger står vinkelret på hinanden.
Prøv selv med dine egne tal
Skal du finde en hypotenuse eller en manglende katete med dine egne tal, kan du bruge vores Pythagoras-beregner til at få hele udregningen vist trin for trin. Skal du i stedet arbejde med vinkler, sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant, er vores trigonometriberegner det rette værktøj.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er Pythagoras' sætning?
Formlen a² + b² = c², hvor a og b er kateterne, og c er hypotenusen i en retvinklet trekant.
Hvad er hypotenusen i en trekant med kateter på 6 og 8?
√(6² + 8²) = √100 = 10.
Hvordan finder jeg en manglende katete, hvis jeg kender hypotenusen?
Brug formlen a = √(c² − b²), hvor c er hypotenusen og b den kendte katete.
Hvad er en pythagoræisk trippel?
Tre hele tal, der opfylder a² + b² = c² præcist, som 3-4-5, 5-12-13 eller 8-15-17.
Kan Pythagoras' sætning bruges på alle trekanter?
Nej, kun på retvinklede trekanter med en vinkel på præcis 90 grader. Andre trekanter kræver cosinusrelationen i stedet.
Hvordan tjekker jeg, om en trekant med kendte sidelængder er retvinklet?
Sæt den længste side ind som c og de to andre som a og b, og tjek om a² + b² = c². Stemmer det, er trekanten retvinklet.
Hvem opfandt Pythagoras' sætning?
Sætningen er opkaldt efter den græske matematiker Pythagoras, men sammenhængen var kendt af tidligere kulturer, blandt andet i det gamle Babylon, længe før den fik sit nuværende navn.
Brug beregnerne selv