Guide
Pythagoras' sætning forklaret med eksempler
Pythagoras' sætning er en af de mest brugte formler i hele matematikken, men mange husker kun selve formlen uden at forstå, hvorfor den virker, eller hvornår den kan bruges. Her er sætningen forklaret med beviser, eksempler og praktiske anvendelser, du kan følge trin for trin.
Opdateret: 29. juli 2026
Hvad siger Pythagoras' sætning?
I en retvinklet trekant gælder altid a² + b² = c², hvor a og b er de to kateter, siderne der støder op til den rette vinkel, og c er hypotenusen, den længste side, som ligger over for den rette vinkel. Sætningen virker kun på trekanter med en vinkel på præcis 90 grader.
Hvorfor virker sætningen? Beviset med arealer
En måde at forstå sætningen på er at tegne et kvadrat på hver af de tre sider i en retvinklet trekant. Arealet af kvadratet på hypotenusen er altid præcis lige så stort som de to andre kvadraters arealer lagt sammen. Det er derfor sætningen egentlig handler om arealer, selvom den i praksis bruges til at finde længder.
Beviset med et kvadrat inden i et kvadrat
Et andet klassisk bevis for Pythagoras' sætning tegner fire identiske retvinklede trekanter inden i et stort kvadrat med sidelængde (a + b), arrangeret så de danner et mindre, skævt kvadrat i midten med sidelængde c. Arealet af det store kvadrat kan regnes på to måder, enten direkte som (a + b)², eller som de fire trekanters areal plus det indre kvadrat, c². Sættes de to udtryk lig hinanden og forkortes, står man tilbage med netop a² + b² = c².
Beviset kan efterprøves med papir og saks
En håndgribelig måde at overbevise sig selv om, at sætningen virker, er at klippe fire identiske retvinklede trekanter ud af papir og forsøge at arrangere dem inden i to kvadrater med samme sidelængde, ét der viser a² + b² som to separate kvadrater, og ét der viser c² som ét samlet kvadrat. Arealerne stemmer altid overens, uanset hvilke tal for a og b man vælger, hvilket gør beviset lige så overbevisende visuelt som algebraisk.
Eksempel: find hypotenusen
Kateterne i en retvinklet trekant er 6 og 8. Hypotenusen findes som √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Dette er et eksempel på en pythagoræisk trippel, hvor alle tre sider bliver hele tal.
Eksempel: find en manglende katete
Hypotenusen i en retvinklet trekant er 41, og den ene katete er 9. Den anden katete findes ved at omskrive formlen til a = √(c² − b²) = √(41² − 9²) = √(1.681 − 81) = √1.600 = 40.
Eksempel med decimaltal
Kateterne er 4,5 og 6. Hypotenusen bliver √(4,5² + 6²) = √(20,25 + 36) = √56,25 = 7,5. Sætningen fungerer præcis lige så godt med decimaltal som med hele tal, den giver bare sjældnere et helt tal som svar.
Pythagoræiske tripler, det er værd at kende
Nogle kombinationer af hele tal opfylder a² + b² = c² præcist, uden afrunding. De mest kendte er 3-4-5, 6-8-10 (som er 3-4-5 ganget med 2), 5-12-13, 8-15-17 og 9-40-41. Genkender du en af disse kombinationer i en opgave, kan du finde svaret uden overhovedet at regne kvadratrødder ud.
Hvorfor er 3-4-5-trekanten så udbredt i byggeri?
Håndværkere har i århundreder brugt 3-4-5-forholdet til at tjekke, om et hjørne er præcis 90 grader, uden at have brug for en vinkelmåler. Måles 3 meter ud ad den ene væg og 4 meter ud ad den anden, skal afstanden mellem de to yderpunkter være præcis 5 meter, hvis hjørnet er retvinklet. Metoden kaldes ofte '3-4-5-reglen' eller 'den egyptiske trekant' og er en af de ældste praktiske anvendelser af sætningen.
Eksempel: byggeri, taghældning
Et sadeltag har en vandret spændvidde på 8 meter og en højde på 3 meter fra loftets bjælkelag til tagryggen, målt til midten. Hver taghældnings længde findes som hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne 4 meter (halvdelen af spændvidden) og 3 meter (højden): √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 meter. Denne beregning bruges af tømrere til at finde den nødvendige længde af spær, før materialerne skæres til.
Omvendt Pythagoras: sådan tjekker du, om en trekant er retvinklet
Kender du alle tre sider i en trekant, kan du bruge sætningens omvendte til at afgøre, om trekanten er retvinklet: sæt den længste side ind som c og de to andre som a og b, og tjek om a² + b² = c². En trekant med siderne 7, 24 og 25 er retvinklet, fordi 7² + 24² = 49 + 576 = 625, som netop er 25².
Hvorfor hedder den længste side hypotenusen?
Ordet hypotenuse stammer fra græsk og betyder omtrent 'den side, der strækker sig under' den rette vinkel, hvis trekanten tegnes med den rette vinkel øverst. Navnet er en praktisk huskeregel: hypotenusen er altid den side, der ligger over for den rette vinkel, aldrig en af de to sider, der selv danner vinklen.
Sætningen er opkaldt efter Pythagoras, men er ældre end ham
Sætningen bærer navn efter den græske matematiker Pythagoras, men sammenhængen mellem siderne i en retvinklet trekant var kendt og brugt af flere ældre kulturer, blandt andet i det gamle Babylon, længe før grækerne satte navn på den. Pythagoras og hans skole fik æren for at formalisere og bevise sætningen som en generel matematisk sandhed.
Almindelig fejl: at bruge sætningen på trekanter uden ret vinkel
Pythagoras' sætning gælder udelukkende for retvinklede trekanter. Har trekanten ikke en vinkel på præcis 90 grader, giver a² + b² = c² et forkert resultat, og man skal i stedet bruge cosinusrelationen, som tager højde for den faktiske vinkel mellem siderne.
Kan man finde flere pythagoræiske tripler selv?
Ud over de mest kendte tripler kan nye findes med en simpel formel: for to positive hele tal m og n, hvor m er større end n, giver a = m² − n², b = 2mn og c = m² + n² altid en gyldig pythagoræisk trippel. Sættes m = 2 og n = 1, fås a = 3, b = 4 og c = 5, netop den mest kendte trippel af dem alle.
Praktisk brug: diagonalen i et rum
Et rektangulært rum er 4 meter langt og 3 meter bredt. Den lige linje fra det ene hjørne til det diagonalt modsatte hjørne, målt langs gulvet, er hypotenusen i en retvinklet trekant dannet af rummets to sider: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 meter. Samme princip bruges også til at beregne skærmdiagonaler, tømrerarbejde og navigation.
Eksempel: find diagonalen på et almindeligt A4-ark
Et A4-ark måler 21 gange 29,7 centimeter. Diagonalen findes som hypotenusen i en retvinklet trekant dannet af de to sider: √(21² + 29,7²) = √(441 + 882,09) = √1.323,09 ≈ 36,4 centimeter. Samme metode bruges til at finde diagonalen på ethvert rektangel, uanset om det er et stykke papir, en skærm eller et rum.
Eksempel: find siden i en ligebenet retvinklet trekant
En ligebenet retvinklet trekant har to lige lange kateter og en ret vinkel mellem dem. Er hypotenusen 10, findes hver katete ved at omskrive formlen: a² + a² = 10², altså 2a² = 100, a² = 50, og a = √50 ≈ 7,07. Denne specialtrekant optræder ofte i geometriopgaver, netop fordi begge kateter er lige lange.
Sammenhæng med trigonometri
Pythagoras' sætning hænger tæt sammen med trigonometri. For enhver vinkel v gælder sin²(v) + cos²(v) = 1, hvilket reelt er Pythagoras' sætning anvendt på en retvinklet trekant med hypotenusen sat til 1. Det er derfor de to emner ofte undervises tæt op ad hinanden i matematikundervisningen.
Sammenhæng med Pythagoras' sætning og cirklens ligning
Cirklens ligning i et koordinatsystem, x² + y² = r², hvor r er radius, er faktisk en direkte anvendelse af Pythagoras' sætning. Ethvert punkt (x, y) på cirklens rand danner en retvinklet trekant med kateterne x og y og hypotenusen r, målt fra centrum. Det er derfor de to emner, cirkler og retvinklede trekanter, ofte hænger sammen i videregående matematik.
Pythagoras i navigation og GPS
Før moderne GPS-systemer brugte navigatører Pythagoras' sætning til at beregne den korteste afstand mellem to positioner, når afstandene i nord-syd- og øst-vest-retning var kendt hver for sig. Selv moderne GPS-beregninger bygger videre på lignende geometriske principper, dog tilpasset jordens buede overflade i stedet for en helt flad model, hvor den simple, flade udgave af Pythagoras stadig giver et godt overslag over korte afstande.
Hvorfor virker sætningen ikke på en kugleoverflade?
Pythagoras' sætning gælder kun i det flade, euklidiske rum, som er den geometri, de fleste lærer i skolen. På en buet overflade, som en kugle, gælder andre geometriske regler, fordi de rette linjer erstattes af storcirkler, og vinkelsummen i en trekant ikke længere er præcis 180 grader. Det er derfor, længere afstande på jordkloden, som flyruter, ikke kan regnes helt præcist med almindelig, flad geometri.
3D-udvidelsen: rumdiagonalen i en kasse
Sætningen kan udvides til tre dimensioner. Rumdiagonalen d i en kasse med sidelængderne a, b og c findes ved d = √(a² + b² + c²), fordi man først finder diagonalen i bunden med almindelig Pythagoras, og derefter bruger sætningen igen med denne diagonal og højden. For en kasse på 2, 3 og 6 meter bliver rumdiagonalen √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 meter.
Eksempel: afstanden mellem to punkter på et kort
Pythagoras bruges også til at finde den lige linjes afstand mellem to punkter, når deres placering kendes i forhold til et fælles udgangspunkt. Ligger punkt A 3 kilometer mod øst og punkt B 4 kilometer mod nord for det samme udgangspunkt, er den lige afstand mellem A og B ikke bare 3 + 4 = 7 kilometer, men √(3² + 4²) = √25 = 5 kilometer, fordi de to retninger står vinkelret på hinanden.
Prøv selv med dine egne tal
Skal du finde en hypotenuse eller en manglende katete med dine egne tal, kan du bruge vores Pythagoras-beregner til at få hele udregningen vist trin for trin, uden selv at skulle regne kvadratrødderne ud. Skal du i stedet arbejde med vinkler, sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant, er vores trigonometriberegner det rette værktøj.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er Pythagoras' sætning?
Formlen a² + b² = c², hvor a og b er kateterne, og c er hypotenusen i en retvinklet trekant.
Hvad er hypotenusen i en trekant med kateter på 6 og 8?
√(6² + 8²) = √100 = 10.
Hvordan finder jeg en manglende katete, hvis jeg kender hypotenusen?
Brug formlen a = √(c² − b²), hvor c er hypotenusen og b den kendte katete.
Hvad er en pythagoræisk trippel?
Tre hele tal, der opfylder a² + b² = c² præcist, som 3-4-5, 5-12-13 eller 8-15-17.
Kan Pythagoras' sætning bruges på alle trekanter?
Nej, kun på retvinklede trekanter med en vinkel på præcis 90 grader. Andre trekanter kræver cosinusrelationen i stedet.
Hvordan tjekker jeg, om en trekant med kendte sidelængder er retvinklet?
Sæt den længste side ind som c og de to andre som a og b, og tjek om a² + b² = c². Stemmer det, er trekanten retvinklet.
Hvem opfandt Pythagoras' sætning?
Sætningen er opkaldt efter den græske matematiker Pythagoras, men sammenhængen var kendt af tidligere kulturer, blandt andet i det gamle Babylon, længe før den fik sit nuværende navn.
Brug beregnerne selv