Beregn hypotenusen eller en manglende katete i en retvinklet trekant med Pythagoras' sætning, med mellemregningen vist trin for trin.
Pythagoras' sætning siger, at a² + b² = c² i en retvinklet trekant, hvor a og b er de to kateter (siderne, der støder op til den rette vinkel), og c er hypotenusen, den længste side, som altid ligger over for den rette vinkel på 90°.
Kender du begge kateter, findes hypotenusen ved at kvadrere begge kateter, lægge dem sammen og tage kvadratroden: c = √(a² + b²). Beregneren gør regnestykket for dig, men det er værd at kunne det i hovedet til en mindre eksamen.
Kender du hypotenusen og én katete, findes den manglende katete ved at omskrive formlen: a = √(c² − b²). Læg mærke til at det her er et minus, ikke et plus, fordi du trækker den kendte katetes kvadrat fra hypotenusens kvadrat.
Er kateterne 3 og 4, er hypotenusen √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Dette er den klassiske 3-4-5-trekant, som ofte bruges som det simpleste eksempel, fordi alle tre sider bliver hele tal.
Er hypotenusen 13 og den ene katete 5, findes den anden katete som √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Ligesom 3-4-5 er 5-12-13 en såkaldt pythagoræisk trippel, hvor alle tre sider er hele tal.
Kateterne er 2,5 og 6. Hypotenusen bliver √(2,5² + 6²) = √(6,25 + 36) = √42,25 ≈ 6,50. De fleste rigtige målinger giver ikke runde tal, så det er værd at øve sig i eksempler som dette, hvor svaret skal afrundes.
Pythagoras' sætning virker udelukkende på retvinklede trekanter. Har trekanten ikke en vinkel på præcis 90°, giver formlen et forkert resultat, og du skal i stedet bruge cosinusrelationen. Er du i tvivl om, hvorvidt en trekant er retvinklet, kan du bruge sætningens omvendte: er a² + b² = c², er trekanten retvinklet.
Hypotenusen er altid den længste side og altid den, der ligger over for den rette vinkel, aldrig en af de to kateter. Sættes en katete forkert ind som c i formlen, giver a² + b² = c² et forkert eller endda umuligt resultat, for eksempel et negativt tal under kvadratroden. Tjek altid, at den side, du regner som hypotenuse, rent faktisk er den længste af de tre.
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
Matematiske konstanter, hele talkombinationer der opfylder a² + b² = c² præcist.
Skal du finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem, for eksempel (1, 2) og (4, 6), er det i virkeligheden Pythagoras' sætning, der bruges. Forskellen i x-koordinater og forskellen i y-koordinater udgør de to kateter, og selve afstanden mellem punkterne er hypotenusen: √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
En ligesidet trekant kan deles i to identiske retvinklede trekanter ved at tegne en linje lodret ned fra toppen til midten af grundlinjen. Er sidelængden i den ligesidede trekant s, bliver den ene katete s/2, hypotenusen forbliver s, og højden findes med Pythagoras som √(s² − (s/2)²), hvilket forenkler til s × √3 / 2.
Sætningen bruges langt uden for matematiktimen, blandt andet til at beregne skærmstørrelser (en skærms diagonal er hypotenusen i en retvinklet trekant dannet af skærmens højde og bredde), i tømrer- og håndværksarbejde til at tjekke om et hjørne er helt retvinklet, og i navigation til at beregne den korteste afstand mellem to punkter.
En skærm er 24 cm høj og 32 cm bred. Diagonalen (det tal producenter typisk oplyser i tommer) er hypotenusen: √(24² + 32²) = √(576 + 1.024) = √1.600 = 40 cm, svarende til cirka 15,7 tommer. Det er præcis den samme udregning, uanset om det er en telefon, en bærbar eller et fjernsyn.
En måde at forstå sætningen på er at tegne et kvadrat på hver af de tre sider i trekanten. Arealet af kvadratet på hypotenusen (c²) er altid præcis lige så stort som arealerne af de to andre kvadrater lagt sammen (a² + b²). Det er derfor sætningen handler om arealer af kvadrater, selvom den i praksis bruges til at finde længder af sider. Sætningen er opkaldt efter den græske matematiker Pythagoras, men sammenhængen var kendt og brugt af flere tidligere kulturer, længe før den fik sit nuværende navn.
En stige på 5 meter stilles op ad en lodret væg, så foden af stigen står 1,4 meter fra væggen. Hvor højt op ad væggen når stigen? Her er stigen selv hypotenusen, og afstanden fra væggen er den ene katete, så højden findes som √(5² − 1,4²) = √(25 − 1,96) = √23,04 = 4,80 meter.
Sætningen kan udvides til tre dimensioner. Rumdiagonalen d i en kasse med sidelængderne a, b og c findes ved først at bruge Pythagoras på bunden, hvor grundfladens diagonal bliver √(a² + b²), og derefter bruge sætningen igen med denne diagonal og højden c: d = √(a² + b² + c²). For en kasse på 3 × 4 × 12 cm bliver rumdiagonalen √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.
Det er formlen a² + b² = c², hvor a og b er kateterne, og c er hypotenusen i en retvinklet trekant.
Hypotenusen er den længste side i en retvinklet trekant, og den ligger altid over for den rette vinkel.
Når man kender to sider i en retvinklet trekant og mangler den tredje, eller vil tjekke om en trekant faktisk er retvinklet.
√(3² + 4²) = √25 = 5.
Nej, kun på retvinklede trekanter, altså trekanter med en vinkel på præcis 90°. På andre trekanter skal du bruge cosinusrelationen i stedet.
Sæt den længste side ind som c og de to andre som a og b. Er a² + b² = c², er trekanten retvinklet.
Det er tre hele tal, der opfylder a² + b² = c², fx 3-4-5 eller 5-12-13. De bruges ofte som simple eksempler, fordi resultatet bliver et helt tal uden afrunding.
Skærmens højde og bredde er de to kateter, og diagonalen er hypotenusen. En skærm på 24 × 32 cm har derfor en diagonal på √(24² + 32²) = 40 cm.
Ja, i en udvidet form. Rumdiagonalen i en kasse med sidelængder a, b og c findes som √(a² + b² + c²), hvilket er Pythagoras' sætning brugt to gange i træk.
Det er helt normalt. Kun særlige talkombinationer som 3-4-5 eller 5-12-13 giver hele tal. De fleste virkelige mål giver et decimaltal, som du afrunder til det antal decimaler, opgaven kræver.
Fortsæt med et andet værktøj inden for geometri.