Størst fælles divisor (SFD)
SFD er det største tal, der går op i begge tal uden rest. Bruges bl.a. til at forkorte brøker mest muligt.
MFM- og SFD-beregner
Find størst fælles divisor (SFD) og mindste fælles multiplum (MFM) af to hele tal, praktisk til at forkorte brøker og finde fælles nævnere.
Kontrolleret af RegnehjælpOpdateret
Sådan fungerer det
Mindste fælles multiplum (MFM)
MFM er det mindste tal, som begge tal går op i uden rest. Bruges blandt andet til at finde fælles nævner, når man skal lægge brøker sammen eller trække dem fra hinanden.
Sådan beregnes det
Beregneren bruger Euklids algoritme til at finde SFD hurtigt, og udregner derefter MFM som (tal1 × tal2) / SFD.
Eksempel: Euklids algoritme
For at finde SFD af 12 og 18: 18 = 1×12 + 6, derefter 12 = 2×6 + 0. Da resten bliver 0, er SFD = 6. MFM findes derefter som (12 × 18) / 6 = 36.
Eksempel: forkort en brøk
Brøken 12/18 forkortes ved at dividere både tæller og nævner med SFD, som er 6: 12/18 = 2/3.
Eksempel: læg to brøker med forskellige nævnere sammen
For at lægge 1/4 og 1/6 sammen skal man finde MFM af 4 og 6, som er 12. Så omskrives brøkerne til tolvtedele: 1/4 = 3/12 og 1/6 = 2/12. Summen bliver 3/12 + 2/12 = 5/12.
Hvorfor virker Euklids algoritme?
Metoden bygger på, at SFD af to tal er det samme som SFD af det mindste tal og resten, når man dividerer det største med det mindste. Ved at gentage denne proces bliver tallene mindre og mindre, indtil resten bliver 0, og det sidste tal, man delte med, er SFD. Algoritmen er meget hurtig, selv for store tal, fordi antallet af trin vokser langsomt sammenlignet med tallenes størrelse.
Sammenhængen mellem SFD og MFM
For to positive hele tal a og b gælder altid, at SFD(a, b) × MFM(a, b) = a × b. Det betyder, at man nemt kan finde MFM, når man kender SFD, uden at skulle liste alle multipla op: MFM = (a × b) / SFD(a, b). For 12 og 18 giver det (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36, som stemmer med eksemplet ovenfor.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at forveksle SFD og MFM
En hyppig fejl er at bruge MFM, når man skal forkorte en brøk (hvilket giver et forkert, større tal), eller bruge SFD, når man skal finde fælles nævner (hvilket giver et for lille tal, der ikke går op). Husk: SFD er altid mindre end eller lig med det mindste af de to tal, mens MFM altid er større end eller lig med det største.
Almindelig fejl
Almindelig fejl: at tro MFM altid er de to tal ganget sammen
MFM af to tal er kun lig med tallene ganget sammen, når de to tal er indbyrdes primiske, altså har SFD lig med 1, som for eksempel 7 og 13. Har tallene en fælles divisor større end 1, bliver MFM mindre end produktet. MFM af 8 og 12 er 24, ikke 8 × 12 = 96, fordi de to tal deler faktoren 4.
SFD og MFM for udvalgte taleksempler
| Tal 1 | Tal 2 | SFD | MFM |
|---|---|---|---|
| 8 | 12 | 4 | 24 |
| 6 | 9 | 3 | 18 |
| 15 | 20 | 5 | 60 |
| 24 | 36 | 12 | 72 |
| 7 | 13 | 1 | 91 |
Beregnet med Euklids algoritme og formlen MFM = (tal1 × tal2) / SFD, som beskrevet ovenfor.
Negative tal og nul
SFD og MFM defineres normalt kun for positive hele tal. Er et af tallene 0, er SFD per definition det andet tal, fordi ethvert tal går op i 0. MFM med 0 som et af tallene giver derimod 0, hvilket sjældent er nyttigt i praksis, og de fleste beregnere, herunder denne, forudsætter derfor to positive hele tal som input.
SFD og MFM af flere end to tal
Metoderne kan udvides til tre eller flere tal ad gangen. For SFD findes SFD af de to første tal, og resultatet bruges derefter sammen med det tredje tal til at finde SFD igen, og så videre. Samme fremgangsmåde bruges for MFM. For eksempel er SFD af 12, 18 og 30 fundet ved først SFD(12, 18) = 6, og derefter SFD(6, 30) = 6, så SFD af alle tre tal er 6.
Praktisk eksempel: deling i lige store grupper
Du har 24 drenge og 18 piger, som skal deles i lige store hold, hvor hvert hold kun har enten drenge eller piger, og alle hold er lige store. Det største muligt holdstørrelse er SFD(24, 18) = 6, så du får 4 drengehold og 3 pigehold, hver med 6 personer. SFD garanterer her den størst mulige, men stadig fælles, gruppestørrelse.
Praktisk eksempel: to busruter, der starter samtidig
Bus A kører hvert 15. minut, og bus B kører hvert 20. minut. Begge busser starter samtidig klokken 12. Hvornår starter de næste gang på nøjagtig samme tidspunkt? Svaret er MFM af 15 og 20, som er 60. De to busser mødes derfor igen efter 60 minutter, altså klokken 13, og det samme mønster gentager sig hver time derefter.
Hvornår bruges SFD og MFM uden for skolen?
Ud over at forkorte brøker og finde fælles nævnere bruges SFD og MFM i praktiske planlægningsopgaver, som at finde ud af, hvornår to gentagne begivenheder med forskellige intervaller falder sammen, eller til at dele en gruppe mennesker eller en mængde varer op i det størst mulige antal lige store, hele grupper. Inden for datalogi bruges Euklids algoritme desuden som byggesten i visse krypteringsmetoder, fordi den er så hurtig, selv for meget store tal.
Alternativ metode: primfaktorisering
SFD og MFM kan også findes ved at opløse begge tal i primfaktorer. 12 = 2² × 3, og 18 = 2 × 3². SFD tager den laveste potens af hver fælles primfaktor, altså 2¹ × 3¹ = 6. MFM tager i stedet den højeste potens af hver primfaktor, der optræder i mindst ét af tallene, altså 2² × 3² = 36. Metoden virker lige så godt som Euklids algoritme, men bliver hurtigt tungere at bruge i hånden, jo større tallene er, fordi det kan være svært at finde primfaktorerne.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er størst fælles divisor?
Det er det største tal, der går op i begge tal. Fx er SFD af 12 og 18 lig med 6.
Hvad er mindste fælles multiplum?
Det er det mindste tal, som begge tal går op i. Fx er MFM af 12 og 18 lig med 36.
Hvornår bruger man MFM og SFD?
SFD bruges til at forkorte brøker, og MFM bruges til at finde fælles nævner når man lægger brøker sammen eller trækker dem fra hinanden.
Hvad er SFD af 12 og 18?
6.
Hvordan forkortes 12/18 mest muligt?
Divider tæller og nævner med SFD (6): 12/18 = 2/3.
Hvordan bruger jeg MFM til at lægge brøker sammen?
Find MFM af nævnerne, omskriv begge brøker til denne fælles nævner, og læg derefter tællerne sammen.
Hvad er sammenhængen mellem SFD og MFM?
SFD(a, b) × MFM(a, b) = a × b, så kender du SFD, kan du finde MFM uden at liste multipla op.
Hvorfor er Euklids algoritme hurtigere end at liste alle divisorer op?
Fordi den kun kræver et lille antal divisioner, selv for meget store tal, i stedet for at skulle tjekke alle mulige divisorer én for én.
Læs mere
Relaterede regnemaskiner
Fortsæt med et andet værktøj inden for matematik.